Stympad Tetraeder  av  Jari Tuomainen 2007-11-09

        

Inledning:

Den stympade tetraedern tillhör 1 av de 13 Arkimediska polyedrarna (Index 2) och består av 8 ytor varav 4 regelbundna hexagoner och 4 liksidiga trianglar, 12 hörn och 18 kanter. Vinklar mellan ytor: Vinkeln mellan 2 hexagoner är 109,47° och mellan en hexagon och en liksidig triangel 70,53°. En sfär kan omskrivas S.T. och det betyder att alla hörn tangerar sfären. Nedan visas en omskriven sfär och dess radie R:

 

(1)

  

Volymen av en stympad tetraeder:

Tetraederns volym är dels volymen av 4 hexagonala pyramider plus 4 pyramider med liksidig triangel som basyta (Metod 1) eller volymen av en Platonsk tetraeder med 4 avklippta hörn (som också är pyramider) (Metod 2). Vi går igenom båda sätten. Formeln för en pyramids

 

volym är:  där B är basytan och h, höjden.

Metod 1:

 

Om vi kallar den hexagonala basytan för  och den liksidiga triangeln för  och tillhörande höjder för  resp. , får vi en formel för S.T:s volym som ser ut :

 

 

(2)

Ur figur 2 får vi att arean av en hexagon är 6 st. liksidiga trianglar med kanten a :  med avståndet a till mittpunkten, och arean av en liksidig triangel är således  samt dess avstånd till mittpunkten är c, nämligen :  

 

För att få reda på  och  använder vi oss av en Platonsk tetraeder (Se figur 3a).

(Figur 3b visar 2 pyramiders placering i S.T.)

 

(3a)                                                                                        (3b)


Först räknar vi ut H :

(Märk att: )

Vidare ser vi att :    och   där  

(  är den Platonska tetraederns omskrivna sfärs radie.)

 är också ett uttryck av   och  C genom Pythagoras sats :

 

Genom att sätta in detta uttryck i ekvationen för H får vi : 

 

Med   känt löser vi  och  :

 

 

S.T:s volym, blir med våra värden på  och  insatta i formeln:

 

         

……………………………………………………………………………………………………………

 

R, omskrivna sfärens radie:

 

……………………………………………………………………………………………………………

 

 

 

 

 

 

 

Metod 2: 

 

Här använder vi oss av den Platonska tetraederns formel för volymen och subtraherar 4 hörn, som är pyramider med kanten a (Se ev. Figur 3). Notera även att den Platonska tetraederns kant är 3a:

 

Samma som i Metod 1.