Stympad Oktaeder av  Jari Tuomainen 2008-02-10

   

Inledning:

Den stympade oktaedern tillhör 1 av de 13 Arkimediska polyedrarna (Index 8) och består av 14 ytor varav 8 regelbundna hexagoner och 6 regelbundna tetragoner (kvadrater), 24 hörn och 36 kanter. Vinkeln mellan 2 hexagoner »109,47 ° och vinkeln mellan en hexagon och en tetragon »125,26°. En sfär kan omskrivas den stympade oktaedern. Nedan visas en omskriven sfär och dess radie R:

 

(1)

Volymen av den stympade oktaedern:

S.O:s volym är volymen av 8 pyramider med hexagon som basyta plus 6 pyramider med kvadratisk basyta. Formeln för en pyramids volym är:  där B är basytan och h, höjden. Om vi kallar hexagonen för  och kvadraten för  och tillhörande höjder för  resp. , blir formeln för S.O:s volym :

 

 

 

(2a)                                                                         (2b)

Figur 2a ger oss att : (Hexagonen)  och   (Kvadraten).

Figur 2b visar 2 av pyramidernas orientering i S.O., samt dess höjder.

Vi måste veta R för att kunna beräkna  resp. , och noterar att tvärsnittet (blått, figur 2a) är en oregelbunden oktagon med kanterna a och b där , i vilken diametern 2R (rött) ligger. Figur 3 visar tvärsnittet ovanifrån:

(3)

Pythagoras sats ger ,från figur 3, att:

Som vidare ger oss pyramidernas höjder och : 

 

 


Med dessa värden på  och  insatta i formeln för S.O:s volym, blir V:

 

 

    

 

 

Andra egenskaper

 

Den stympade oktaedern (2:a från höger) övergår i en kub åt vänster och oktaeder till höger

 

Kub                      Stympad kub           Kuboktaeder         Stympad oktaeder     Oktaeder            

Jari Tuomainen 2008-02-11