Stympad Ikosidodekaeder (Även Stor Rombikosidodekaeder) av Jari Tuomainen  2008-12-19/25

  

Inledning:

Den Stympade Ikosidodekaedern är 1 av de 13 Arkimediska polyedrarna (Index 28) och består av 62 ytor varav 12 regelbundna decagoner, 30 kvadrater och 20 hexagoner. Den består också av 120 hörn och 180 kanter. Vinkeln mellan de olika ytorna framgår av tabellen nedan. En sfär kan omskrivas den Stympade Ikosidodekaedern. Figur 1 visar den omskrivna sfärens radie R. (Eftersom kroppen är nästan sfärisk, har själva sfären utelämnats) :

 

(1)

Om du föreställer dig att de gula kvadraterna ”äts upp” av det blåa och det röda, så övergår den Stympade Ikosidodekaedern i en Ikosidodekaeder, varför 1 vinkel måste överensstämma med Ikosidodekaedern, vinkeln mellan en decagon och en hexagon. ( Se Ikosidodekaedern ).

Volymen av den Stympade Ikosidodekaedern :

 

Volymen är volymen av alla 62 pyramider med polyederns ytor som basyta.

Om vi kallar decagonen för , kvadraten för  och den hexagonen för , blir formeln för kroppens totala volym :   där , och  är höjderna i de resp. pyramiderna. Vi härleder formeln för kroppens volym uttryckt i kanten a.  F (gyllene snittet) är med i decagonens beräkningar.

*, Arean av en regelbunden decagon :   (Se beräkningarna i Stympad Dodekaeder)

 

, Arean av en kvadrat :   

, Arean av en regelbunden hexagon :  (Se beräkningarna i Stympad Kuboktaeder)

                                          

R, den omskrivna sfärens radie :

 

I genomskärning ser den Stympade Ikosidodekaedern ut som i figur 2a-f

 

(2a)                                                                               (2b)

(2c)                                                                             (2d)

 

(2e)                                                                           (2f)

De 4 första figurerna visar tvärsnitt där inte d ges som ett enkelt uttryck av kanterna, varför vi beräknar d ur 2e-f. Kanten b är en diagonal i en regelbunden decagon (Se beräkningarna i Stympad Dodekaeder) och c är en diagonal i en regelbunden hexagon. Det blir :

 

  och 

Med de korsade diagonalerna (figur 2f) blir d :

 

Vidare beräknar vi R med Pythagoras sats och notera att diagonalen i kvadraten gäller för beräkningen, alltså :

 

 

Höjderna    och    i de respektive pyramiderna :

 

       (3a)                            (3b)                       (3c)

                                                                    

I figur 3a-c visar pyramiderna (som genererar kroppens volym), samt måttsättningen.

Under : tilhörande basyta.

(Se andra Arkimediska kroppar hur pyramiderna är orienterade t.ex. Stympad Ikosaeder.)

                                                         

, Höjden i en pyramid med decagonal basyta :

 

* blir med Pythagoras sats, se figur 3a (För x, se Stympad Dodekaeder) :

(Kom ihåg att roten   inte går att förenkla ytterligare ( med F ) .)

 

, Höjden i en pyramid med kvadratisk basyta:

 

Figur 3c ger oss att :, där   alltså :

 

 

, Höjden i en pyramid med basyta: Hexagon (6 liksidiga trianglar) :

 

Figur 3b ger oss att :   där  

 

 

 

V, volymen av den Stympade Ikosidodekaedern :

 

Vi bestämde att   och med alla parametrar insatta blir det :

 

Sätter vi in  och utvecklar, blir det :

 

Rotuttrycket   löser vi med samma metod som i Rombikosidodekaedern (som dessutom råkar ha samma värden), och vi får lösningen :

 

    (Se metoden i t.ex. Den stympade kuben)

 

Alltså är :    och uttrycket för volymen blir :

 

 

 

Jari Tuomainen 2008-12-25