Stympad Ikosaeder – Fotbollen

       av  Jari Tuomainen 2007-10-17

 

       

Inledning:

Den stympade ikosaedern (eller fotbollen) är 1 av de 13 Arkimediska polyedrarna

(Index 25) och består av 32 ytor varav 20 regelbundna hexagoner och 12 regelbundna pentagoner, 60 hörn och 90 kanter. Vinklar mellan ytor : Vinkeln mellan 2 hexagonala ytor  »142,62° och vinkeln mellan en hexagonal yta och en pentagonal »138,19°

Pentagonerna ovan är resterna av avklippta toppar av en Platonsk ikosaeder. Till skillnad mot de Platonska kropparna kan man endast omskriva en sfär runt en Arkimedisk kropp. Figur 1 visar den omskrivna sfären i den stympade ikosaedern samt dess radie R. Notera att S.I. är så gott som rund som en fotboll. På engelska kallas den Bucky-ball:

 

(1)

           

Volymen av den stympade ikosaedern - fotbollen :

S.I:s volym kan beräknas direkt ur en Platonsk ikosaeders volym med avklippta toppar eller att man beräknar alla pyramider som bildas av de 12 pentagonerna och 20 hexagonerna. Vi går igenom båda sätten. Vi börjar med Metod 1: Volymen i en pyramid är Vp=BH/3 där B är basytan och H höjden i pyramiden. Om vi kallar basytan i en pentagonal pyramid för  och basytan i en hexagonal pyramid för , blir S.I:s totala volym :  där  och  är höjderna i de resp. pyramiderna. Vi härleder nu en användbar formel för S.I:s volym uttryckt i kanten a.

 

Sammanfattningsvis är parametrarna vi skall räkna ut :  och R innan vi kan beräkna volymen V, och vi kommer också att använda F (gyllene snittet) för att förenkla uttrycken.

 

*, Arean av en regelbunden pentagon :

(2)

I figur 2 ser vi att pentagonens area är 5 trianglar med höjden y, alltså :

 

 där   

 

I figur 3 beräknar vi d uttryckt i F (), eftersom diagonalen i en regelbunden pentagon är F multiplicerat med kanten. Avståndet d, i en pentagon, från ett hörn till mittpunkten beräknas med likformighetslagar där x förhåller sig till F/2 som 1/F förhåller sig till d. (Observera att kanten a =1.)

(3)

 

Man får att :   vilket efter förenklingar ger :  

Med detta värde på d insatt blir  , efter förenklingar :

 

, Arean av en regelbunden hexagon :

I figur 4 kan vi konstatera att arean är 6 st. liksidiga trianglar, alltså  

(4)                                                     

       

R, den omskrivna sfärens radie :

 

Figur 5 visar hur man kan rama in omskrivna sfärens diameter (grönt) i en rektangel (rött). Genom att rita in 2 parallella decagoner (blått), får man rektangelns ena sida som en diagonal i decagonen och den andra sidan lika med en kant i S.I. Det återstående problemet nu är att få diagonalen uttryckt i decagonens kanter, varpå det är lätt att, med Pythagoras sats, lösa diametern 2R (eller radien R).

(5)

I figur 6a syns en av decagonerna ovanifrån och diagonalen d. Sidorna är a resp. 2a (se figur 5 hur decagonerna är orienterade).

 

 

(6a)                                                                    (6b)                                                          

I figur 6b ritar vi in ytterligare en diagonal som bildar 2 likformiga, likbenta trianglar med vinklarna 36°, 72° och 72° i både den gula som den gröna triangeln och där d= d’+d”.

Med just dessa vinklar, är  och enligt satser om gyllene snittet F. Diagonalen d blir då :

 

 

Vi fortsätter med att lösa R med Pythagoras sats och det blir :

 

Figur 7 visar den röda rektangeln, från figur 5, måttsatt.

(7)

, Höjden i en pyramid med pentagonal basyta :

 

* blir med Pythagoras sats (se figur 8) :    Och efter förenklingar :

              

 

 

 

(8)   Pentagonal pyramid                                     (9) Hexagonal pyramid

               

, Höjden i en pyramid med hexagonal basyta :

 

I figur 9 ser vi att :  

 

Vi förenklar med att använda identiteten  upprepade gånger.

T.ex. är : en och  en annan identitet vi använder :

 

V, volymen av den stympade ikosaedern (Metod 1) :

 

Minns att vi bestämde att   och med alla parametrar insatta blir det :

 

 

Utvecklar man F och förenklar, får man slutligen uttrycket :

 

 

Uträkningarna av  och V redovisas i appendix.

S.I:s volym V, Metod 2 :

Här använder vi oss av formeln för den Platonska ikosaederns volym  och klipper helt enkelt bort 12 pentagonala pyramider från formeln så att S.I:s ytor hexagonerna, och pentagonerna får samma kantlängd. Det innebär att en 1/3 av den Platonska ikosaederns kanter reduceras för varje hörn. Figur 10 visar att kanten blir lika för båda ytorna eftersom det streckprickade blir till pentagoner med en gemensam kant med hexagonen (blått). Figur 11 är den ikosaeder vi skall klippa, så att där blir ytor som är regelbundna pentagoner :

 

(10)                                                          (11)

                           

Volymen för en avklippt topp av ikosaedern är ju en pentagonal pyramid med höjden h, alltså:

 

   enl. tidigare, och det är 12 toppar vi skall klippa så den allmänna formeln lyder :

Notera att  eller egentligen , d.v.s. om vi sätter a=3 så blir  och vi kommer då att räkna på en S.I. med kanten 1! Först beräknar vi h (Se figur 11) :

 

Och vi får en topp med volymen   . Sätter vi in det i formeln för V, fås :

. Vi utvecklar F och förenklar (Alla led är inte med) :

 

 

 

Vi multiplicerar med 1, nämnarens konjugat både i täljare och nämnare i 2:a termen och får :

 

Detta är alltså volymen av S.I. då , men om vi nu generaliserar och glömmer den Platonska ikosaedern helt, kan vi ju lika gärna kalla  för a och får då samma formel som i Metod 1, alltså :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Appendix:

 

d, avståndet hörn-mittpunkt i en pentagon (här är a =1) :

 

   Här eliminerades F, men i figur (3) är x enl. Pythagoras sats :

 

  vilket ger 

Vi förlänger med 1 alltså   och får  

 

Identiteten   där    är en, ger vidare att:

 

Med ett godtyckligt värde på a blir det :         

, Arean av en regelbunden pentagon (basyta) :

  där enl. figur 2. Vi beräknar y först : 

   vilket ger :

 

*, Höjden i den pentagonala pyramiden :

Notera att täljaren, under rottecknet, kan skrivas som en kvadrat (undre raden)!

V, den stympade ikosaederns volym, Metod 1:

 

 

I sista raden ovan ville vi få bort rotuttryck i nämnaren så vi multiplicerade med 1, dess konjugat, både i täljare och nämnare. Förenklingarna fortsätter (med några överhoppade led) :

 

 

Jari Tuomainen 2007-10-21