Stympad dodekaeder

       av Jari Tuomainen 2007-10-17

 

       

Inledning:

Den stympade dodekaedern är 1 av de 13 Arkimediska polyedrarna (Index 26) och består av 32 ytor varav 20 liksidiga trianglar och 12 regelbundna decagoner, 60 hörn och 90 kanter.

Vinklar mellan ytor :Vinkeln mellan 2 decagonala ytor  »116,565°

Vinkeln mellan en decagonal yta och en liksidig triangel »142,623°

Decagonerna är resterna av avklippta toppar av en Platonsk ikosaeder. Till skillnad mot de Platonska kropparna kan man endast omskriva en sfär runt en Arkimedisk kropp, vilket betyder att alla hörn tangerar omskrivna sfären. Figur 1 visar den omskrivna sfären runt den stympade dodekaedern samt dess radie R.:

(1)

           

Volymen av den stympade dodekaedern :

S.D:s volym kan beräknas dels genom att man beräknar alla pyramider som bildas av de 12 decagonerna och 20 liksidiga trianglarna (Metod 1) eller direkt ur en Platonsk dodekaeders volym med avklippta toppar (Metod 2). Vi går igenom båda sätten. Vi börjar med Metod 1: Volymen i en pyramid är Vp=BH/3 där B är basytan och H höjden i pyramiden. Om vi kallar basytan i en decagonal pyramid för  och basytan i en pyramid med liksidig triangel som basyta för , blir S.D:s totala volym :  där  och  är höjderna i de resp. pyramiderna. Vi härleder nu en användbar formel för S.D:s volym uttryckt i kanten a.

Sammanfattningsvis är parametrarna vi skall räkna ut :  och R  innan vi kan beräkna V, och vi använder oss av F (gyllene snittet) för att förenkla uttrycken.

 

*, Arean av en regelbunden decagon :

(2)

 

Figur 2 ger oss att arean är 10 st. trianglar med höjden därför att vinklarna i en triangel är 36°, 72° och 72°, ger oss Fa , alltså :   och efter förenklingar :

 

, Arean av en liksidig triangel :   

                                                  

 

 

 

R, den omskrivna sfärens radie :

Figur 3a visar den omskrivna sfärens diameters (grönt) läge i S.D. En rektangel (rött) ramar in diametern. Genom att rita in 2 parallella decagoner (blått) i det område där diametern ligger, får man rektangelns ena sida som en diagonal i decagonen och den andra sidan lika med en kant i S.D. Sedan söker man ett uttryck där diagonalen är ett uttryck av decagonens kanter, varpå man löser diametern 2R (eller radien R) med Pythagoras sats.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3a)                                                                 (3b)  2 pyramider i S.D. :

I figur 4a syns decagonerna ovanifrån med diametern 2R samt den röda rektangeln. Figur 4b visar endast en av decagonerna, och 2 diagonaler som korsar varandra. Sidorna är a resp. b där b är en diagonal i den yta av S.D. som utgörs av en regelbunden decagon.

 

(4a)                                                                    (4b)                                                         

Korsningen innebär att det bildas 2 likformiga, likbenta trianglar med vinklarna 36°, 72° och 72° i både den gula som den gröna triangeln och där d= d’+d”.

Med just dessa vinklar, är  och enligt principen om gyllene snittet F. Diagonalen blir då :

 

 

 

Här har vi ett uttryck där b är obekant. Figur 5 kan vara hjälp till hur vi löser det problemet. b skär basytan (som är en decagon) enl. :

 

 

 

 

 

 

(5)                                                                        

I den högra bilden har vi färglagt 3 hjälptrianglar som är kongruenta. Alla 3 trianglarna har vinklarna 36°, 72°och 72° och b har blivit ett uttryck av F och a :

 

 

 

Vi skall nu visa att det stämmer. Vi ritar upp en rätvinklig triangel i decagonen, figur 6, och skall beräkna b med Pythagoras sats. Eftersom hypotenusan är känd, behöver vi bara veta y för att lösa b:

 

(6)

Eftersom den röda vinkeln är 18° (36°/2)  är  (Se förstoringen till höger) och vi får :

Pythagoras sats ger oss sedan:  eller   

 

Om vi använder det 2:a uttrycket och sätter in y, får vi :

 

Diagonalen d är alltså :

 

Vi fortsätter med att lösa R, och det blir :

Figur 7 visar den röda rektangeln, från figur 3, måttsatt.

 

 

(7)

, Höjden i en pyramid med decagonal basyta :

* blir med Pythagoras sats (se figur 8) :    

Och efter förenklingar :   (Se Appendix)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8)   Decagonal pyramid                                     (9) Pyramid, basyta : liksidig triangel

                

, Höjden i en pyramid med liksidig triangel som basyta :

Figur 9 ger oss att : och efter förenklingar 

 

 

V, volymen av den stympade dodekaedern (Metod 1) :

 

Minns att vi bestämde att   och med alla parametrar insatta blir det :

Utvecklar man F och förenklar, får man slutligen uttrycket :   Uträkningarna av V (Metod 1) redovisas i appendix.

 

 

S.D:s volym V, Metod 2 :

Här använder vi oss av formeln för den Platonska dodekaederns volym  och klipper helt enkelt bort hörnen (20 pyramider, basyta: liksidig triangel) från formeln så att S.D:s ytor decagonerna, och de liksidiga trianglarna får samma kantlängd a. Formeln för S.D:s volym kommer att få utseendet :  där är volymen av ett avklippt hörn (pyramid). Ur figur 10a-b hämtar vi därför den information vi behöver för att beräkna x, alltså det vi klipper bort från den Platonska dodekaederns regelbundna pentagoner.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10a)                                                                    (10b)                                                          

                          

Notera att man kan dela in den gröna triangeln enl. Figur 10b, därför att vinkeln i en regelbunden pentagon är 108° ( 36°+72°). Detta ger oss att : . Alltså :

 

Ovanstående ger oss då att :  (Dodekaederns kant uttryckt i S.D:s  kant) som vi kommer att använda i formeln för V .

 

Nu beräknar vi , och hämtar parametrarna från figur 11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11)

Volymen V blir då :

 

 

 

    Samma som i Metod 1!

 

Notera, i volymberäkningen, att :  och att

 

 

 

 

 

 

 

Appendix:

 

*, Höjden i den decagonala pyramiden :

 

V, den stympade dodekaederns volym, Metod 1:

 

 

Sista rotuttrycket  är lika med  om man löser x och y i uttrycket :

genom kvadrering m.m. alltså : och man

får ekvationssystemet : o.s.v.

(Notera att )    så vi får :

 

Jari Tuomainen 2007-11-04