Stympad kuboktaeder (Även Stor Rombikuboktaeder) av Jari Tuomainen 2008-02-25

  

Inledning:

Den stympade kuboktaedern tillhör 1 av de 13 Arkimediska polyedrarna (Index 11) och består av 26 ytor varav 6 regelbundna oktagoner 8 regelbundna hexagoner och 12 regelbundna tetragoner (kvadrater), 48 hörn och 72 kanter. Vinkeln mellan de 3 olika ytorna framgår av tabellen nedan. En sfär kan omskrivas den stympade kuboktaedern. Figur 1 visar en omskriven sfär och dess radie R:

 

(1)

  

 

Volymen av den stympade kuboktaedern (S.K-O.):

 

S.K-O. bildar ,med alla dess ytor, 26 st. pyramider : 6 st. med oktagon som basyta, 8 med hexagon som basyta och 12 med kvadratisk basyta.

Formeln för en pyramids volym är:  där B är basytan och h, höjden. Om vi kallar oktagonen för, hexagonen för  och kvadraten för  och tillhörande höjder för ,

och  blir formeln för S.K-O:s  volym :     

De pyramider  vi skall beräkna visas i figur 2a-c  (Under: dess basyta) :

 

(2a)                                                           (2b)                                           (2c)                                                                                

, Oktagonens area :   Figur 2a ger först att:

Och oktagonens area är ju en kvadrat minus 4 bortklippta hörn, alltså :

Hexagonens area (Figur 2b) är arean av 6 st. liksidiga trianglar med kanten a, alltså :

Kvadraten (Figur 2c) :

 

Figur 2a-c ger oss också ytornas mittpunkter :

För hexagonen är mittpunkten avståndet a och för kvadraten :

Vidare måste vi först veta R innan vi kan beräkna ,  och . Figur 3a visar att 2R (Diametern, gult) ligger i 2 oregelbundna oktagoner (Blått) med kanterna a och e, där e är en diagonal i , nämligen : . Med diagonalen f och kanten a ramas 2R in i en rektangel (Grått), ur vilken 2R kan beräknas med Pythagoras sats. Figur 3b visar den oregelbundna oktagonen och diagonalen f, ovanifrån.

(3a)                                                                                 (3b)

 

 

R, omskrivna sfärens radie :

 

 

Vi fortsätter med att beräkna ,  och  med Pythagoras sats :

 

 

Med dessa värden på  och  insatta i formeln för S.K-O:s volym,

blir V:

 

 

 

Rotuttrycken  och     eliminerar vi genom att sätta upp sambanden :

 

  och     och kvadrera. Vi får i första fallet :

 

    Detta ger oss ekvationssystemet :

 

      Översta ekvationen ger oss  , och insatt i den undre, blir det :

 

   som efter kvadratkomplettering blir :

 

 

 

Väljer vi v=1 blir u=8 och vice versa, alltså :

Vi gör samma sak med det andra rotuttrycket (uträkningarna utelämnade) och får

 

 

Nu kan vi alltså ersätta  med   och ersätta    med 

 

Uttrycket för volymen blir nu :

 

 

 

 

Jari Tuomainen 2008-02-26