Stympad Kub  av  Jari Tuomainen 2008-02-04

   

Inledning:

Den stympade kuben tillhör 1 av de 13 Arkimediska polyedrarna (Index 9) och består av 14 ytor varav 6 regelbundna oktagoner och 8 liksidiga trianglar, 24 hörn och 36 kanter. Vinkeln mellan 2 oktagoner = 90° och vinkeln mellan en oktagon och en liksidig triangel »125,26°. En sfär kan omskrivas den stympade kuben. Nedan visas en omskriven sfär och dess radie R:

 

(1)

Volymen av den stympade kuben:

S.K:s volym är volymen av 6 pyramider med  regelbunden oktagon som basyta plus 8 pyramider med liksidig triangel som basyta. Formeln för en pyramids volym är:  där B är basytan och h, höjden. Om vi kallar oktagonen för  och den liksidiga triangeln för  och tillhörande höjder för  resp. , blir formeln för S.K:s volym :

 

 

 

 

 

 

(2a)                                                                         (2b)

Figur 2a ger oss att : (rött). Figur 2b visar hur en tänkt kvadrat kan tjäna som hjälp till att beräkna  (om man klipper bort hörnen). Pythagoras sats ger oss då att :

  som vidare ger oss : 

 

 

Vi fortsätter med att beräkna pyramidernas höjder och .

Figur 3a ger oss underlaget för beräkningarna och 3b visar 2 av pyramidernas placering.

 

(3a)                                                                          (3b)

 

 är ju halva tänkta kvadratens längd (Se figur 2b), alltså :

 

För att beräkna , utnyttjar vi y och omskrivna sfärens radie R, från figur 3a, som med Pythagoras sats ger :

 

  Som efter förenklingar ger :

 

 

 

( (mittpunkten i en liksidig triangel. Se t.ex. Ikosaedern))

 


Med dessa värden på  och  insatta i formeln för S.K:s volym, blir V:

 

 

       

För att snygga till detta uttryck för S.K:s volym och eliminera rotuttrycket  sätter vi upp ekvationen :  och kvadrerar :

 

 

och får ekvationssystemet : Översta ekvationen ger : .  Detta insatt

 

i undre ekvationen ger vidare : .  Efter kvadratkomplettering blir det :

 

Vi får alltså : u=9 eller u=8. Väljer vi u=9 så blir v=8 och vice versa, Alltså :

 

Vi kan nu ersätta rotuttrycket    med       och uttrycket för S.K:s volym blir nu :

 

 

Den stympade kubens volym !

 

Jari Tuomainen 2008-02-08