Tetraedern 

                     

Inledning:

Tetraedern tillhör 1 av de 5 platonska kropparna (Index 1) och består av 4 ytor, 4 hörn och 6 kanter. Vinkeln mellan 2 ytor är 109,47°. En sfär kan omskrivas tetraedern och det betyder att alla hörn tangerar sfären. En annan sfär kan inskrivas tetraedern och betyder att mittpunkten av ytorna (de liksidiga trianglarna) tangerar sfären. Nedan visas en omskriven och inskriven sfär och dess radier R’ resp. R.

        

Hur man räknar ut volymen på en tetraeder:

Tetraederns volym är dels volymen av en pyramid med en av dess ytor, liksidig triangel, som basytan B och höjden H eller 4 pyramider med samma basyta och med höjden R (den inskrivna sfärens radie). Vi kan kalla de olika sätten att räkna för Metod 1 och Metod 2. Fördelen med metod 2 är att den går att allmänt tillämpa på samtliga Platonska kroppar (och även på t.ex. Arkimedes polyedrar) då antalet pyramider är lika många som antalet ytor på polyedern (Tetraedern har 4 ytor). Vi går igenom båda. Formeln för en pyramids volym är:  där h är höjden, så tetraederns volym blir enl. Metod 1:  och enl. Metod 2:

 

 

 

 

 

 

Metod 1:

Den liksidiga triangelns area B och mittpunkt (avståndet c) beräknas ur figur1: Och med likformighetslagar förhåller sig c till a som a/2 förhåller sig till d och vi får:

 

(1)                                                                                          (2)

   

 

Figur 2 visar att H nu kan lösas med Pythagoras sats:

 

 

Tetraederns volym blir:

 

 

Metod 2: 

 

Betrakta figur 3a. Här är både R och R’ okända som uttryck av kanten a. Figur 3b fokuserar på en triangel där 2 sidor är kända (a och c) och ger oss då H, från metod 1, alltså:

(3a)                                                          (3b)                                   (3c)  1 av 4 pyramider

Vi utnyttjar höjden H, från Metod 1, och ser även i figur 3b att :

Med detta x insatt i ekvationen för H, får vi R’:    Vi subtraherar R’ i båda leden och kvadrerar:

Vi fortsätter med att lösa R (också den med Pythagoras sats):  

 

 

Tetraederns volym blir, med detta värde på höjden R:

 

Samma som i Metod 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Appendix

 

Hur man härleder en formel för volymen av en pyramid:

 

På samma sätt som integralen av en kurva ger oss arean under kurvan, ger integralen av en area volymen (Man höjer gradtalet ett steg, d.v.s. integrerar t.ex. längden  till eller integrerar  till  eller integrerar  till  (eller blir det ) o.s.v.). Tillsammans med integrering använder vi likformighetslagar för att härleda en formel för volymen av en pyramid. Betrakta nedanstående figur. Med likformighetslagar kan vi sluta oss till att:

 

Om vi sedan integrerar, med gränserna enl. figuren, får vi:

Vi har härlett formeln för en pyramids volym. Som du kanske lägger märke till kan basytan B se ut hur som helst, med det undantaget att, om B är en polygon, måste den ha minst 3 kanter (triangel).