Rombikosidodekaeder

av Jari Tuomainen 2008-04-10 - 2008-12-19

  

Inledning:

Rombikosidodekaedern är 1 av de 13 Arkimediska polyedrarna (Index 27) och består av 62 ytor varav 12 regelbundna pentagoner, 30 kvadrater och 20 liksidiga trianglar. Den består också av 60 hörn och 120 kanter. Vinkeln mellan de olika ytorna framgår av tabellen nedan. En sfär kan omskrivas rombikosidodekaedern. Figur 1 visar den omskrivna sfären runt Rombikosidodekaedern och radien R :

 

(1)

Volymen av Rombikosidodekaedern :

 

Volymen är 62 st. pyramider med polyederns ytor som basyta.

Om vi kallar pentagonen för , kvadraten för  och den liksidiga triangeln för , blir formeln för kroppens totala volym :   där , och  är höjderna i de resp. pyramiderna. Vi härleder nu formeln för kroppens volym uttryckt i kanten a.  F (gyllene snittet) kommer att användas för pentagonens beräkningar.

*, Arean av en regelbunden pentagon :  (Se beräkningarna i Dodekaedern)

 

, Arean av en kvadrat :   

, Arean av en liksidig triangel :  (Se beräkningarna i Ikosaedern)

                                           

R, den omskrivna sfärens radie :

 

I genomskärning ser Rombikosidodekaedern ut som i figur 2a. Här syns den omskrivna sfärens diameter (2R, gult) inramad i en rektangel med kanterna d och b. Rektangeln ligger i sin tur i 2 parallella plan, de 2 decagonerna (blått), med kanterna Fa och a, ty ena kanten är diagonalen i en pentagon och den andra är kanten i en kvadrat. I figur 2b syns en av decagonerna ovanifrån med 2 korsande diagonaler (längden d=d’+d’’). Det bildas då två kongruenta trianglar med  vinklar enl. 2b. Gyllene snittet ger oss då att :

 

            ()

 

(2a)                                                                               (2b)

 

Vidare kan vi nu beräkna R med Pythagoras sats och notera även att b är diagonalen i en kvadrat, alltså :

 

 

Höjderna    och    i de respektive pyramiderna :

 

 

I figur 3a-d visas pyramiderna inuti Rombikosidodekaedern, samt måttsättningen :

 

 

 

 

(3a)                                                            (3b)                        (3c)                         (3d)

                                                                    

                                                         

, Höjden i en pyramid med pentagonal basyta :

 

* blir med Pythagoras sats, se figur 3b (För x, se Dodekaedern) :

 

Förenkla sedan (t.ex. med identiteten  (Rätt många led) ) så att du får :

 

 

, Höjden i en pyramid med kvadratisk basyta:

 

Figur 3c ger oss att :, där   alltså :

Utvecklar man F får man :

 

, Höjden i en pyramid, basyta: liksidig triangel :

 

Figur 3d ger oss att :   där  (Se liksidig triangel, ikosaedern)

 

 

Genom förenklingar och utveckling av F, erhålls (Rätt många led, igen ) :

 

 

Sätt nu upp sambandet :  och kvadrera. Vi får då :

 

Detta ger oss ekvationssystemet :

 

     Som har lösningen     (Se metoden i t.ex. Den stympade kuben)

 

Alltså är :         Det blir :

 

 

 

 

V, volymen av Rombikosidodekaedern :

 

I början bestämde vi att   och med alla parametrar insatta blir det :

 

 

 

 

 

Vi utvecklar F först och förenklar, och får ( Rätt många led ) :

 

 

 

Jari Tuomainen 2008-12-19