Rombikuboktaedern av  Jari Tuomainen 2008-02-21

  

Inledning:

Rombikuboktaedern tillhör 1 av de 13 Arkimediska polyedrarna (Index 10) och består av 26 ytor varav 18 regelbundna tetragoner (kvadrater) och 8 regelbundna trigoner (liksidiga trianglar), 24 hörn och 48 kanter. Vinkeln mellan 2 tetragoner = 135 ° och vinkeln mellan en tetragon och trigon »144,736°. En sfär kan omskrivas Rombikuboktaedern. Nedan visas en omskriven sfär och dess radie R:

 

(1)

Hur man räknar ut volymen av rombikuboktaedern :

Rombikuoktaedern bildar ,med alla dess ytor, 26 st. pyramider, varav 18 är pyramider med kvadratisk basyta och 8 är pyramider med liksidig triangel som basyta. Formeln för en pyramids volym är:  där B är basytan och h, höjden. Om vi kallar kvadraten för  och den liksidiga triangeln för  och tillhörande höjder för  resp. , blir formeln för rombikuboktaederns volym :

 

 

Om kanten är a så blir  (Tetragonen) och  (Trigonen). Vidare måste vi först veta R innan vi kan beräkna  och . Figur 2a visar att 2R (Diametern) vilar i 2 regelbundna oktagoner (Blått) med kanten a. Om vi sedan (Som figur 3a-b visar) beräknar diagonalen d i oktagonen kan vi därefter beräkna R (eller 2R) med Pythagoras sats eftersom vi kan konstruera en rätvinklig triangel av a,d och 2R ( figur 3b). Figur 2b visar 2 av pyramidernas orientering i rombikuboktaedern, samt dess höjder och .

 

 

(2a)                                                                                 (2b)

 

(3a)                                                                                 (3b)

Vi fortsätter med att beräkna pyramidernas höjder  och  med Pythagoras sats då

  och    (Mittpunkterna på basytorna  och , figur 2b)

 

(Notera täljarna i  och  som i slutet kan uttryckas som kvadrater)

Med dessa värden på  och  insatta i formeln för rombikuboktaederns volym,

blir V:

 

Jari Tuomainen 2008-02-22