De Pythagoreiska talen

          

Inledning:

De Pythagoreiska talen är en rätvinklig triangels sidor A, B och C uttryckta som positiva heltal ( Naturliga tal ). Av figuren ovan får vi heltal på A, B och C för alla m och n om de också är positiva heltal. Vi skall nedan göra en kort verifiering.

 

(1)

Verifieringen

Anta nu att vi inte vet B men gör en ansats av A och C enligt figur 1. och sätter in alltsammans i Pythagoras sats, vi får :

 

 

Utvecklar vi detta får vi ju :

 

 

Vänsterled och högerled ser nästan likadana ut, sånär som på .

Alltså måste  utgöra skillnaden, för att ekvationen skall stämma, nämligen .

Vi har:

 

 

( Av ansatsen har vi förutom att A och C är Naturliga tal också att B är ett Naturligt tal.

Om man provar t.ex. ansatsen att  får man att , vilket inte alltid ger att

B är ett Naturligt tal. )

 

 

Några heltalstrianglar

 

De Pythagoreiska talen är:

 

där m>n och m,n Î N  ( N = Naturliga talen )

 

Om vi låter m=2 och n=1 får vi heltalstriangeln C=5, A=3 och B=4.

Om vi låter m=4 och n=2 får vi heltalstriangeln C=20, A=12 och B=16.

Om vi låter m=3 och n=1 får vi heltalstriangeln C=10, A=8 och B=6.

 

( Notera att den sista är en fördubbling av längderna i den första. )

 

Om vi tar en sista heltalstriangel med m=6 och n=5 får vi C=61, A=11 och B=60.

 

Notera också att De Pythagoreiska talen inte säger att sidan A>B.

 

Jari ”Mixen”Tuomainen  den 10 mars 2012