Ett 2:a bevis av Pythagoras sats

Inledning:

 

Pythagoras sats , beskriver en rätvinklig triangels relation mellan sidorna A, B och C. I ord blir det: hypotenusan (C) i kvadrat är lika med kateten A i kvadrat plus kateten B i kvadrat.

 

Beviset

 

Anta nu att man ritar upp hypotenusan C och kateterna A och B som vektorer. Se figur 1.

 

(1)

 

 

Vi har här satt vinkeln Q skild ifrån 90° för att visa att Pythagoras sats är ett specialfall av Cosinussatsen. Det följer :

 

 

Vi kvadrerar och får :

 

( Längden på en vektor är definierad :  )

 

I utrycket ovan har vektorerna omvandlats till kvadraterna på dess längder. Vi har redan här använt oss av en variant av skalärprodukt :

 

 

Ersätter vi nu  i ekvationen med  (Enl. lagen om skalärprodukter) får vi Cosinussatsen :

 

 

Beviset  av Pythagoras är sedan ett specialfall av Cosinussatsen där q=90°, se figur 2.

 

(2)

 

Ovanstående ger oss ju att cos(90°)=0, och kvar av Cosinussatsen är Pythagoras sats :

 

 

 

Jari ”Mixen”Tuomainen  den 20 mars 2012