Gyllene Snittet, Phi  av  Jari Tuomainen 2009-01-21 

Inledning:

Gyllene snittet F, ett förhållande ofta använt i geometrin och i bl. a. konst. Leonardo da Vinci menade t.ex. att människokroppen passar in på ett harmoniskt sätt i en ram där ena kanten är  F ggr längre än den andra (Se figur 1).

(1)

         

Hur stor är då Phi:

Anta en sträcka u som delas in i 2 mindre, v och w, så att u förhåller sig till v som v förhåller sig till w (Det är F:s princip).

Figur 2 med beräkning av F följer :

 

(2)

    

Vi har nu härlett värdet på F. Om vi nu som i bilden (Figur 1) tar ett godtyckligt värde på a, kan vi få dess andra sida genom att multiplicera a med F.

 

Om man byter ut u, v och w mot tal kan det se ut som i figur 3:

(3)

Figuren visar att v är F ggr större än w, alltså v=F×1 och på samma sätt är u F ggr större än v, alltså u=F×F.

Men samtidigt är ju hela sträckan summan av de 2 mindre, alltså F+1 (Enl. figur). Nu kan vi konstruera en viktig lag om F, nämligen :

 

Som i sin tur är detsamma som :

 

Av detta kan man visa en generell lag om ovanstående identitet :

 

  där  n Î N

 

Grafiskt kan det innebära (Se figur 4):

(4)

(Kuriosa : Gyllene snittet F, är det enda  tal som multiplicerat med sig själv också blir F+1 (förutom -F))

 

Man kan också visa vinklarna som uppkommer, genom att vika ihop ovanstående och bilda en likbent triangel (Se figur 5)

(Vik den korta längden uppåt (180°-72°=108°) och konstruera en lika lång som den långa och sammanfoga. Vinklarna vet vi ju inte än, men se det som en beskrivning)

 (5)

I den nedre triangeln kan vi konstatera att: ,  vilket ger  x=18° och toppvinkeln blir det dubbla, 36°.

Summa vinklar i en triangel är 180° och eftersom triangeln är likbent blir de andra vinklarna = (180°-36°)/2 = 144°/2 = 72°.

 

I en pentagon (Här: en vy från en ikosaeder, figur 6) uppträder de här vinklarna på ett sådant sätt att diagonalen b då är precis F ggr längre än a,

alltså b=F·a :

(6)

 

Appendix

 

 

F, några relationer :