Pentagonen       av  Jari Tuomainen 2011-10-27

 

          

Inledning:

Den regelbundna Pentagonen är en 5-hörnig polygon, där kanterna är lika långa. Vinkeln i varje hörn är 108°. Nedan visas den omskrivna och inskrivna cirkeln i pentagonen:

(1)

 

Hur man räknar ut vinkeln 108°:

Man kan dela in pentagonen på flera olika sätt vilket visas i nedanstående figurer. Sedan är  det ganska lätt att beräkna vinkeln 108°.

(2)

I den 1:a finns det 3 st trianglar vars summa vinklar är 3x180°=540°. Delar man det med antal hörn ( 5 st ) fås vinkeln i pentagonen, alltså v=540/5 = 108°. Vinkeln 36° erhålls också ganska lätt, eftersom triangeln med markerade 108° är likbent. Till sist fås ju också att 3x36°= 108°. I den 2:a pentagonen är det välkända pentagrammet inritat och ger oss alltså att vinkeln i pentagrammets spets är 36°.

 

Hur man räknar ut pentagonens area:

 

För att man skall kunna härleda en formel för pentagonens area, måste man veta hur lång diagonalen är. I en regelbunden pentagon är diagonalen Fa därför att vinkelförhållandena (Se nedan ) 36°, 72° och 72° genererar just detta. I den högra figuren är 2 diagonaler inritade vilket också delar diagonalerna så att diagonalen d=a+a/F.

(3)

Med detta i bakfickan kan vi härleda pentagonens area, det följer:

(4)

Ur den 1:a figuren ( bild 4 ) får vi att arean måste vara 5 st. trianglar med basen a och höjden r, alltså:

 

I vårt fall återstår då att få ett uttryck för höjden r för att beräkna hela arean. I den 2:a figuren får vi ur likformighet, att R är:

 

 

Vi behöver veta x, vilket vi får med Pythagoras sats:

 

 

 

Detta sätter vi in i uttrycket för R:

       Vi trixar lite med att multiplicera med talet  och:

 

   Här utnyttjar vi lagen att:  , alltså:

 

 

 

 

Nu fås r åter med Pythagoras sats:

 

 

Med r nu känt beräknar vi arean B:

 

 

 

Utveckling av F ger efter ganska många led att pentagonens area är:

 

             där     

 

 

 

Jari Tuomainen  den 29 oktober 2011