Oktaedern        av  Jari Tuomainen 2007-11-07             

     

Inledning:

Oktaedern tillhör 1 av de 5 platonska kropparna (Index 5) och består av 8 ytor, 6 hörn och 12 kanter. Vinkeln mellan 2 ytor är 109,47°. En sfär kan både omskrivas och inskrivas oktaedern vilket betyder att alla hörn tangerar sfären resp. ytornas mittpunkter tangerar sfären. Nedan visas en omskriven och inskriven sfär och dess radier R’ resp. R.

(1)

Hur man räknar ut volymen på en oktaeder:

Oktaederns volym är dels volymen av 8 pyramider med en av dess ytor, liksidig triangel, som basytan B och höjden R (den inskrivna sfärens radie) eller 2 pyramider med kvadratisk basyta och med höjden R’. Vi kan kalla de olika sätten för Metod 1 och Metod 2. Fördelen med Metod 1 är att den går att tillämpa på samtliga Platonska kroppar (och även t.ex. på Arkimedes polyedrar). Vi går igenom båda sätten. Formeln för en pyramids volym är:  där B är basytan och h är höjden, så oktaederns volym blir enl. Metod 1:  och enl. Metod 2:  

 

 

 

 

Metod 1:

Den liksidiga triangelns area B och mittpunkt (avståndet c) beräknas ur figur 2: Med likformighetslagar förhåller sig c till a som a/2 förhåller sig till d och vi får:

 

(2)                                                                         (3)                                                                                         

   

 

Figur 3 visar hur 1 av 8 pyramider är orienterad i oktaedern. Notera att diagonalen  med Pythagoras sats. Detta ger oss:

 

 

Oktaederns volym blir, med dessa värden insatta:

 

 

 

Metod 2: 

 

Betrakta figur 4a-b. Här gör vi en annan indelning av oktaedern och får 2 pyramider med kvadratisk basyta. Notera att figur 4a är ekvivalent med 4b, d.v.s. det är likvärdigt om vi väljer våra 2 pyramider vertikalt eller horisontellt (ty den omskrivna sfären tangerar ju alla hörn).

 

 

 

(4a)                                                                              (4b)

 

 

Ur figuren får vi att:   och att: . Oktaederns volym blir då, med dessa värden på B och R’ :

 

    (Samma som Metod 1)