Ikosidodekaeder  av  Jari Tuomainen 2007-10-21

             

Inledning:

Ikosidodekaedern är 1 av de 13 Arkimediska polyedrarna (Index 24) och består av 32 ytor varav 20 liksidiga trianglar och 12 regelbundna pentagoner, 30 hörn och 60 kanter. Till skillnad mot de Platonska kropparna kan man endast omskriva en sfär runt en Arkimedisk polyeder, vilket betyder att alla hörn tangerar omskrivna sfären. Vinkeln mellan 2 ytor »142,62°. Figur 1 visar den omskrivna sfären runt ikosidodekaedern samt dess radie R :

 

(1)

          

Volymen av ikosidodekaedern :

Ytorna bildar med centrum av sfären pyramider, alltså 12 pentagonala och 20 med liksidig triangel som basyta. Volymen i en pyramid är Vp=BH/3 där B är basytan och H höjden i pyramiden. Om vi kallar basytan i en pentagonal pyramid för  och basytan i en pyramid med liksidig triangel för , blir I:s totala volym :  där  och  är höjderna i de resp. pyramiderna. Vi härleder nu en användbar formel för I:s volym uttryckt i kanten a. Sammanfattningsvis är parametrarna vi behöver :  och R  och vi kommer också att använda F (gyllene snittet) för att förenkla uttrycken.

 

*, Arean av en regelbunden pentagon är :  (Se beräkningarna i Dodekaedern)

 

, Arean av en liksidig triangel är :  (Se beräkningarna i Ikosaedern)

                                            

R, den omskrivna sfärens radie :

 

I genomskärning ser ikosidodekaedern ut som i figur 2a-b. Här syns den omskrivna sfärens diameter (2R, grönt) vid halva kroppens höjd, som också är en diagonal i den mörkblåa, regelbundna, decagon vi markerat i ikosidodekaedern. Figur 2b visar hur 2 pyramider är placerade i kroppen.

 

(2a)                                                                               (2b)

 

I figur 3a syns den regelbundna decagonen ovanifrån med diametern 2R och kanten a.

Ritar man in en diameter till, som i Figur 3b, bildas 2 lika, liksidiga trianglar med vinklarna 36°, 72° och 72°. Enligt satser om gyllene snittet, är då : .

 

 

(3a)                                                                    (3b)

                                                         

 

 

 

 

 

, Höjden i en pyramid med pentagonal basyta :

 

* blir med Pythagoras sats, se figur 4 (För d, se Dodekaedern) :

(4)   Pentagonal pyramid                                     (5) Pyramid, basyta: liksidig triangel

                

, Höjden i en pyramid med basyta: liksidig triangel

 

I figur 5 ser vi att :   där  (Se liksidig triangel, ikosaedern)

 

Vi förenklar med att använda identiteten  upprepade gånger.

T.ex. är : en och  en annan identitet vi använder :

 

V, volymen av ikosidodekaedern :

 

I början bestämde vi att   och med alla parametrar insatta blir det :

 

 

Utvecklar man F och fortsätter förenklingarna får man :

 

 

 

Jari Tuomainen 2007-10-23