Ikosaedern        av  Jari Tuomainen 2007-09-13 

    

 

Inledning:

Ikosaedern tillhör 1 av de 5 platonska kropparna (Index 22) och består av 20 ytor, 12 hörn och 30 kanter.En sfär kan omskrivas ikosaedern och det betyder att alla hörn tangerar sfären. En annan sfär kan inskrivas ikosaedern och betyder att mittpunkten av ytorna (de liksidiga trianglarna) tangerar sfären. Nedan visas tematiskt en omskriven och inskriven sfär(svart) och dess radier R’ samt R.

         

Hur man räknar ut volymen på en Ikosaeder:

Eftersom ikosaedern består av 20 liksidiga trianglar och att vinkeln mellan 2 ytor (längs en kantlinje) är lika stor över hela ikosaedern  är volymen  20 lika stora pyramider.

Höjden i en pyramid är den inskrivna sfärens radie R och basytan B är arean av en liksidig triangel.

Den liksidiga triangelns  area och mittpunkt (avståndet c) beräknas ur figur1 :

(1) 

                        

Figur 2 visar hur en pyramid är placerad i ikosaedern och vars höjd (gröna linjen) kan beräknas med Pythagoras sats, då R’ är känd, ty c, R och R’ bildar tillsammans en rätvinklig triangel.

 

(2)

Då vi saknar ett tillfredsställande uttryck för R’, måste vi först gå igenom gyllene snittet F och ikosaederns pentagonalitet och se hur dessa samverkar i ikosaedern för att slutligen beräkna ikosaederns volym. (Vi vill dessutom att alla uttryck skall vara uttryck av sidan/kanten a eftersom det är a vi ser när vi betraktar ikosaedern utifrån.)

Det finns flera sätt att räkna ut F och ett är: Anta en sträcka u som delas in i 2 mindre, v och w, så att u förhåller sig till v som v förhåller sig till w. Figur 3 med beräkning av F följer :

 

(3)

    

Man vet att t.ex. ikosaederns topp, är en pentagonal pyramid ur vilken F kan iakttas.

Delar man in pentagonen enligt figur 4 (svart) fås vinkeln 36° (eller  p/5) och diagonalen b är då precis F gånger längre än a , alltså b=F·a :

 

(4)

 

Figur 5 visar hur diagonalen b och kanten a bildar en rektangel med den blå diagonalen 2·R’. Diagonalen 2·R’ är ju den omskrivna sfären diameter och löses med Pythagoras sats :

 

(5)

 

Nu kan vi bestämma samtliga parametrar för beräkningen av ikosaederns volym. Det följer:

 

Omskrivna sfärens radie R’ :

 

 

 

 

Enligt figur 2 blir inskrivna sfärens radie R :

 

Volymen av en pyramid i ikosaedern är Vp = B·R/3, och 20 st, ikosaederns volym blir :

 

 

 

Uträkningarna av R’, R och V finns i appendix.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Appendix

 

R’, omskrivna radien :

En del tabeller anger :   när    insättes.

 

 

R, inskrivna radien :

 

Utnyttja identiteten att . Vi får, när vi utvecklar ovanstående :

 

 

Samma identitet ger bakvänt :

 

 

Den generella regeln av identiteten säger att : . Eftersom

 använder vi här   och vi har :

 

 vidare gäller : och vi får :

 

Utvecklar vi F fås :

 

     eller    

 

 

 

 

 

 

 

Appendix forts.

 

V, volymen av ikosaedern :

 

 

F, några relationer :