Trianglar, Gyllene Trianglar

Inledning:

En triangel är en polygon med 3 sidor och 3 hörn, även kallad Trigon. Alla andra polygoner kan delas upp i trianglar (t.ex. bildar en rektangel 2 trianglar och en pentagon 3 st.).  Summa vinklar i en triangel är 180°. Alla trianglar kan omskrivas och inskrivas en cirkel.

 

Några olika typer av trianglar

(1)

Arean av en triangel

 

Arean ges av Basen gånger höjden delat med 2, alltså :

 

Om vi tar fallet där ingen vinkel är lika blir arean:

 

 

eller

 

eller

 

 

Se figur 2:

 

(2)

Vi har alltså 3 ekvivalenta areaekvationer.

 

Sinussatsen

Vi visar nu att sinussatsen kan härledas från areaekvationerna, areorna sammansatta blir :

 

 

Multiplicerar vi nu med 2 och dividerar med A×B×C i alla 3 areaekvationerna, blir det :

 

 

 

Här tar 2:or och CB, CA och AB ut sig, respektive, och vi får sinussatsen :

 

 

( För Cosinussatsen, se : Det 2:a beviset av Pythagoras sats )

 

 

 

Gyllene trianglar :

 

Trianglar som har en relation till Phi kan kallas gyllene trianglar. I länkarna Platonska kroppar och Arkimediska kroppar återkommer några, som vi även tar upp här.

 

Gyllene triangel 1, om 2 vinklar är 72° blir den 3:e 36° och vi får nedanstående triangel :

Gyllene triangel 1B. Om vi sätter sidan 1 till F får vi nedanstående gyllene triangel :

Det gäller alltså att de långa katetrarna är F ggr längre än den korta.

 

Gyllene triangel 2, här inskriven en cirkel :

 

 

Gyllene triangel 2B. Om vi ändrar hypotenusan till F i kvadrat, får vi :

 

Detta verifieras lätt med Pythagoras sats. På detta sätt inser man att det finns oändligt många gyllene trianglar. Avslutningsvis visar vi en sista triangel.

 

Gyllene triangel 3 :

 

Även denna triangel finns självklart i flera gyllene-snitt-förhållanden.

 

 

 

Jari ”Mixen”Tuomainen  den 6 april 2012