Dodekaedern       av  Jari Tuomainen 2007-10-08            

Inledning:

Dodekaedern tillhör 1 av de 5 Platonska kropparna (Index 23) och består av 12 ytor, 20 hörn och 30 kanter. En sfär kan både omskrivas och inskrivas dodekaedern vilket betyder att alla hörn tangerar omskrivna sfären resp. alla ytornas mittpunkter tangerar den inskrivna sfären.

Nedan visas den omskrivna och inskrivna sfären i dodekaedern samt dess radier R och H:

           

Hur man räknar ut volymen på en dodekaeder:

Dodekaedern består ju av 12 regelbundna pentagoner och bildar därmed 12 lika stora pyramider med höjden H, eftersom vinkeln mellan 2 ytor (längs en kantlinje) är lika stor över hela dodekaedern. Basytan B, i en pyramid, är arean av en regelbunden pentagon. Volymen är V=12BH/3. Vi ska här härleda en formel för dodekaederns volym uttryckt i kantlängden a och gyllene snittet F, och behöver då känna till måtten på en pentagon och dodekaederns inskrivna och omskrivna radier H och R. Avståndet d, i en pentagon, från ett hörn till mittpunkten beräknas med likformighetslagar där x förhåller sig till F/2 som 1/F förhåller sig till d (se figur (1)).    (1)

Man får att :   vilket efter förenklingar ger :  

Notera även att diagonalen är F ty kantlängden är 1, alltså Fa = diagonalen, vilket i figur (1) också betyder att  .

 

Basytan B (pentagonens area), är 5 trianglar med höjden y enligt figur 2:

(2)

  Och B blir, efter förenklingar : 

 

(3a)                                                      (3b)

       

I figur 3a kan man rita in 2 stora pentagoner (svart) som är parallella plan. Kantlängden i en stor pentagon är , ty  är ju detsamma som diagonalen i en av dodekaederns ytor B, därför blir diagonalen i en stor pentagon . I figuren syns också den omskrivna sfärens diameter 2R (blått).

I figur 3b är de stora pentagonernas diagonaler (rött) inritade som tillsammans med 2 parallella kanter bildar en rektangel. Med Pythagoras sats kan man nu räkna ut den blå diametern och egentligen radien R :

 

Figur 4 visar den bildade (röda) rektangeln, måttsatt :

 

 

(4)

Figur 5 visar en pyramid i dodekaedern. 12 sådana behövs för beräkningen av hela volymen.

Eftersom B, R och d nu alla är kända återstår höjden H innan konstruktionen av formeln för dodekaederns volym kan slutföras. H beräknas också den med Pythagoras sats.

(5)

 .Efter förenklingar blir det :

 

Dodekaederns volym är V=12BH/3 och med alla framtagna parametrar insatta blir det :

 

 

Utvecklar man F får man slutligen uttrycket :

 

 

 

Uträkningarna av d, R, H, B och V redovisas i appendix.

 

 

 

Appendix

 

d, avståndet hörn-mittpunkt i en pentagon (här är a =1) :

 

   Här eliminerades F, men i figur (1) är x enl. Pythagoras sats :

 

  vilket ger 

Vi förlänger med 1 alltså   och får  

Genom att upprepade gånger använda identiteten   där    är en, fås :

 

 

Med ett godtyckligt värde på a, blir det :

 

R, omskrivna sfärens radie :

H, inskrivna sfärens radie (1 pyramids höjd) :

 

 

B, arean av en basyta (regelbunden pentagon) :

  där enl. Figur 2. Vi utvecklar y först : 

  och B blir :

 

V, dodekaederns volym :

 

 . Insättning av   ger :

 

Efter ytterligare förenklingar (Vi tar inte med alla led här) får vi ett uttryck som ser ut så här :

 

 . Vi multiplicerar med 1, alltså nämnarens konjugat både i täljare och

 

nämnare och får :

 

 

 

Jari Tuomainen  den 8 oktober 2007