Hexaedern - Kuben  av  Jari Tuomainen 2007-11-07

Inledning:

Hexaedern eller vanligare: Kuben, tillhör 1 av de 5 Platonska kropparna (Index 6) och består av 6 ytor, 8 hörn och 12 kanter. Vinkeln mellan 2 ytor är 90°. En sfär kan både omskrivas och inskrivas kuben vilket betyder att alla hörn tangerar sfären resp. ytornas mittpunkter tangerar sfären. Nedan visas en omskriven och inskriven sfär och dess radier R’ resp. R.

(1)

        

Hur man räknar ut volymen på en kub:

Vi går igenom 2 metoder att beräkna kubens volym, Metod 1 (det enklare): basen x höjden x längden (eftersom vinkeln mellan 2 ytor är just 90°) och i kubens fall speciellt enkelt då alla kanterna är lika långa. Det blir, om vi kallar kanten för a: .

 

Metod 2:

 

När det gäller de Platonska kropparna (och t.ex. Arkimedes polyedrar) är de uppbyggda av pyramider med kroppens ytor som basyta och med höjden R (den inskrivna sfärens radie). Pyramiderna är lika många som det är antal ytor, i kubens fall 6 (Se figur 2). Formeln för en pyramids volym är:  där h är höjden, så kubens volym blir:  där  och Basytan är  

 

Kubens volym blir då:   (Samma som Metod 1)

 

(2) Kubens indelning i 6 lika pyramider:

Figur 3a-b visar hur rymddiagonalen 2R’ är relaterad till kanten a.

 

(3a)                                                                  (3b)

   

 

Pythagoras sats ger att: och samma sats ger vidare att (Se figur 3b) :

 

 

Alltså, den omskrivna sfärens radie är: