Ellipsen

Inledning:

 

Ellipsen, en tillplattad cirkel. Precis som med cirkeln anges arean som en komposition av p, men här med halva storaxeln och halva lillaxeln istället för radien.

 
Konstruktion av ellipsen

 

(1)

Längden från punkten (x,y) till (c,0) plus längden från (x,y) till (-c,0) är konstant, den är 2a.

(3:e bilden i figuren visar att om (x,y) närmar sig x-axeln, kan man se att längden blir 2a)

Punkterna (c,0) och (-c,0) kallas ellipsens brännpunkter.

F.ö. är halva storaxeln angiven a och halva lillaxeln angiven b. Man kan lätt konstruera en egen ellips med tråd, två nålar och en penna.

 

Excentriteten e, är definierad genom c=a×e (d.v.s i figuren ovan är längden c lika med längden a gånger e.)

Excentriteten anger graden av tillplattning och kan vara i intervallet 0< e <1.

T.ex. har jordens rotation runt solen e=0.017 (Alltså rätt nära cirkulär bana e=0), medans e nära 1 ger en mer tillplattad ellips.

 

Lite mer om e i ellipsen (se figur 2) :

 

(2)

 

Vi har att :    och att

   

 

 

Ellipsens ekvation

 

Ur figur 1 kan vi hämta att :

 

Subtrahera ett av rotuttrycken i både V.L. och H.L och kvadrera, och vi får :

 

 

Här kan vi eliminera ,  och  varför ekvationen får utseendet :

 

 

Här kan vi dividera bort 4 och kvadrering igen ger :

 

 

 kan elimineras, och vi dividerar med . Dessutom sätter vi ist.f. c in a×e. Det blir :

 

 

Vi fortsätter :

 

 

Man kan sedan visa att ( Se nedan) och ellipsens ekvation blir :

 

 

 

(3)

 

Pythagoras sats ger att    men   . Insättning ger :

 

 

    Klart  (V.S.B.)

 

Ellipsens area

 

Ellipsens area beräknas på liknande sätt som cirkeln. Vi använder ellipsens parametrisade ekvation (ist. f. den ovan) :

 

   

 

Vi ställer upp integralen :

 

 

Om nu denna integral skall passa parametriseringen måste vi ändra gränserna och derivera x=a×cos(q) så att vi får ett uttryck på dx.

 

Gränserna:

 

Om

och om

 

Deriveringen av  blir

 

Integralen får nu utseendet :

 

Vidare substituerar vi :  med    och vi har :

 

 

Integreringen ger sedan :

 

 

Ellipsens area.

 

 

 

 

 

Jari ”Mixen”Tuomainen  den 5 april 2012