Arean av en Cirkel

Inledning:

 

Cirkeln, den kanske mest fundamentala geometriska formen i universum.

Relationen mellan arean och radien anges med p (Se länken : Ett Cirkelbevis).

 

Cirkeln

 

Det är förhållandevis bökigt att beräkna arean utan parametrisering varför vi gör följande ( Se  figur 1 ) :

 

(1)

Cirkelns ekvation kan uttryckas som i figuren, antingen som (A) eller som den parametriserade varianten (B).

 Vi ställer upp integralen :

( 4 st kvartscirklar med intervallet 0 £ x £ R )

 

Vi sätter in y=R×sin(q) och deriverar x=R×cos(q), vi får vid deriveringen :

 

 

gränserna blir om      och

 

Integralen får nu utseendet :

Vi substituerar  med  och vi har integralen som :

 

 

Integreringen ger :

 

 

 

 

Jari ”Mixen”Tuomainen  den 22 mars 2012